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切線長定理

    06-21 11:23:31    瀏覽次數: 664次    欄目:九年級數學教案

標簽:初三數學教案,人教版九年級數學教案,北師大九年級數學教案,http://www.562527.site 切線長定理,

1、教材分析

 。1)知識結構

 。2)重點、難點分析

  重點:切線長定理及其應用.因切線長定理再次體現了圓的軸對稱性,它為證明線段相等、角相等、弧相等、垂直關系等提供了理論依據,它屬于工具知識,經常應用,因此它是本節的重點.

  難點:與切線長定理有關的證明和計算問題.如120頁練習題中第3題,它不僅應用切線長定理,還用到解方程組的知識,是代數與幾何的綜合題,學生往往不能很好的把知識連貫起來.

  2、教法建議

  本節內容需要一個課時.

 。1)在教學中,組織學生自主觀察、猜想、證明,并深刻剖析切線長定理的基本圖形;對重要的結論及時總結;

 。2)在教學中,以“觀察——猜想——證明——剖析——應用——歸納”為主線,開展在教師組織下,以學生為主體,活動式教學.

教學目標

  1.理解切線長的概念,掌握切線長定理;

  2.通過對例題的分析,培養學生分析總結問題的習慣,提高學生綜合運用知識解題的能力,培養數形結合的思想.

  3.通過對定理的猜想和證明,激發學生的學習興趣,調動學生的學習積極性,樹立科學的學習態度.

  教學重點:

  切線長定理是教學重點

  教學難點:

  切線長定理的靈活運用是教學難點

  教學過程設計:

  (一)觀察、猜想、證明,形成定理

   1、切線長的概念.

  如圖,P是⊙O外一點,PA,PB是⊙O的兩條切線,我們把線段PA,PB叫做點P到⊙O的切線長.

  引導學生理解:切線和切線長是兩個不同的概念,切線是直線,不能度量;切線長是線段的長,這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點,可以度量.

  2、觀察

  利用電腦變動點P 的位置,觀察圖形的特征和各量之間的關系.

  3、猜想

  引導學生直觀判斷,猜想圖中PA是否等于PB. PA=PB.

  4、證明猜想,形成定理.

  猜想是否正確。需要證明.

  組織學生分析證明方法.關鍵是作出輔助線OA,OB,要證明PA=PB.

  想一想:根據圖形,你還可以得到什么結論?

  ∠OPA=∠OPB(如圖)等.

  切線長定理:從圓外一點引圓的兩條切線,它們的切線長相等,圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角.

  5、歸納:

  把前面所學的切線的5條性質與切線長定理一起歸納切線的性質

  6、切線長定理的基本圖形研究

  如圖,PA,PB是⊙O的兩條切線,A,B為切點.直線OP交⊙O于點D,E,交AP于C

  (1)寫出圖中所有的垂直關系;

  (2)寫出圖中所有的全等三角形;

  (3)寫出圖中所有的相似三角形;

  (4)寫出圖中所有的等腰三角形.

  說明:對基本圖形的深刻研究和認識是在學習幾何中關鍵,它是靈活應用知識的基礎.

  (二)應用、歸納、反思

  例1、已知:如圖,P為⊙O外一點,PA,PB為⊙O的切線,

  A和B是切點,BC是直徑.

  求證:AC∥OP.

  分析:從條件想,由P是⊙O外一點,PA、PB為⊙O的切線,A,B是切點可得PA=PB,∠APO=∠BPO,又由條件BC是直徑,可得OB=OC,由此聯想到與直徑有關的定理“垂徑定理”和“直徑所對的圓周角是直角”等.于是想到可能作輔助線AB.

  從結論想,要證AC∥OP,如果連結AB交OP于O,轉化為證CA⊥AB,OP ⊥AB,或從OD為△ABC的中位線來考慮.也可考慮通過平行線的判定定理來證,可獲得多種證法.

  證法一.如圖.連結AB.

   PA,PB分別切⊙O于A,B

   ∴PA=PB∠APO=∠BPO

   ∴ OP ⊥AB

   又∵BC為⊙O直徑

   ∴AC⊥AB

   ∴AC∥OP (學生板書)

  證法二.連結AB,交OP于D

   PA,PB分別切⊙O于A、B

   ∴PA=PB∠APO=∠BPO  

   ∴AD=BD

   又∵BO=DO

   ∴OD是△ABC的中位線

   ∴AC∥OP

  證法三.連結AB,設OP與AB弧交于點E

   PA,PB分別切⊙O于A、B

   ∴PA=PB

   ∴ OP ⊥AB

   ∴ =

   ∴∠C=∠POB

   ∴AC∥OP

  反思:教師引導學生比較以上證法,激發學生的學習興趣,培養學生靈活應用知識的能力.
 例2、 圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等.

 。ǚ治龊徒忸}略)

  反思:(1)例3事實上是圓外切四邊形的一個重要性質,請學生記住結論.(2)圓內接四邊形的性質:對角互補.

  P120練習:

  練習1 填空

  如圖,已知⊙O的半徑為3厘米,PO=6厘米,PA,PB分別切⊙O于A,B,則PA=_______,∠APB=________

  練習2 已知:在△ABC中,BC=14厘米,AC=9厘米,AB=13厘米,它的內切圓分別和BC,AC,AB切于點D,E,F,求AF,AD和CE的長.

  分析:設各切線長AF,BD和CE分別為x厘米,y厘米,z厘米.后列出關于x , y,z的方程組,解方程組便可求出結果.

 。ń饴裕

  反思:解這個題時,除了要用三角形內切圓的概念和切線長定理之外,還要用到解方程組的知識,是一道綜合性較強的計算題.通過對本題的研究培養學生的綜合應用知識的能力.


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  (三)小結

  1、提出問題學生歸納

 。1)這節課學習的具體內容;

 。2)學習用的數學思想方法;

 。3)應注意哪些概念之間的區別?

  2、歸納基本圖形的結論

  3、學習了用代數方法解決幾何問題的思想方法.

  (四)作業

  教材P131習題7.4A組1.(1),2,3,4.B組1題.

探究活動

圖中找錯

  你能找出(圖1)與(圖2)的錯誤所在嗎?

  在圖2中,P1A為⊙O1和⊙O3的切線、P1B為⊙O1和⊙O2的切線、P2C為⊙O2和⊙O3的切線.

  

  提示:在圖1中,連結PC、PD,則PC、PD都是圓的直徑,從圓上一點只能作一條直徑,所以此圖是一張錯圖,點O應在圓上.

  在圖2中,設P1A=P1B=a,P2B=P2C=b,P3A=P3C=c,則有

   a= P1A= P1P3+P3A= P1P3+ c 、

   c= P3C= P2P3+P3A= P2P3+ b 、

   a= P1B= P1P2+P2B= P1P2+ b 、

   將②代人①式得

   a = P1P3+(P2P3+ b)= P1P3+P2P3+ b,

   ∴a-b= P1P3+P2P3

   由③得a-b= P1P2

   ∴P1P2= P2P3+ P1P3

   ∴P1、P 2 、P3應重合,故圖2是錯誤的.




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