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高中數學教學中的“情境 問題 反思 應用”——《余弦定理》教學案例

    06-21 11:23:54    瀏覽次數: 851次    欄目:高三數學教案

標簽:人教版高三數學教案,高三文科數學教案,http://www.562527.site 高中數學教學中的“情境 問題 反思 應用”——《余弦定理》教學案例,

摘要:辯證唯物主義認識論、現代數學觀和建構主義教學觀與學習觀指導下的“情境·問題·反思·應用”教學實驗,旨在培養學生的數學問題意識,養成從數學的角度發現和提出問題、形成獨立思考的習慣,提高學生解決數學問題的能力,增強學生的創新意識和實踐能力。創設數學情境是前提,提出問題是重點,解決問題是核心,應用數學知識是目的,因此所設情境要符合學生的“最近發展區”。“余弦定理”具有一定廣泛的應用價值,教學中我們從實際需要出發創設情境。

  關鍵詞:余弦定理;解三角形;數學情境

 一 教學設計

 1 教學背景

 在近幾年教學實踐中我們發現這樣的怪現象:絕大多數學生認為數學很重要,但很難;學得很苦、太抽象、太枯燥,要不是升學,我們才不會去理會,況且將來用數學的機會很少;許多學生完全依賴于教師的講解,不會自學,不敢提問題,也不知如何提問題。這說明了學生一是不會學數學,二是對數學有恐懼感,沒有信心,這樣的心態怎能對數學有所創新呢?即使有所創新那與學生們所花代價也不成比例,其間扼殺了他們太多的快樂和個性特長。建構主義提倡情境式教學,認為多數學習應與具體情境有關,只有在解決與現實世界相關聯的問題中,所建構的知識才將更豐富、更有效和易于遷移。我們在2003級進行了“創設數學情境與提出數學問題”教學實驗,通過一段時間的教學實驗,多數同學已能適應這種學習方式,平時能主動思考,敢于提出自己關心的問題和想法,從過去被動的接受知識逐步過渡到主動探究、索取知識,增強了學習數學的興趣。

 2 教材分析

 “余弦定理”是全日制普通高級中學教科書(試驗修訂本&#8226;必修)數學第一冊(下)的第五章第九節的主要內容之一,是解決有關斜三角形問題的兩個重要定理之一,也是初中“勾股定理”內容的直接延拓,它是三角函數一般知識和平面向量知識在三角形中的具體運用,是解可轉化為三角形計算問題的其它數學問題及生產、生活實際問題的重要工具,因此具有廣泛的應用價值。本節課是“正弦定理、余弦定理”教學的第二節課,其主要任務是引入并證明余弦定理,在課型上屬于“定理教學課”。布魯納指出,學生不是被動的、消極的知識的接受者,而是主動的、積極的知識的探究者。教師的作用是創設學生能夠獨立探究的情境,引導學生去思考,參與知識獲得的過程。因此,做好“余弦定理”的教學,不僅能復習鞏固舊知識,使學生掌握新的有用的知識,體會聯系、發展等辯證觀點,而且能培養學生的應用意識和實踐操作能力,以及提出問題、解決問題等研究性學習的能力。

 3 設計思路

  建構主義強調,學生并不是空著腦袋走進教室的。在日常生活中,在以往的學習中,他們已經形成了豐富的經驗,小到身邊的衣食住行,大到宇宙、星體的運行,從自然現象到社會生活,他們幾乎都有一些自己的看法。而且,有些問題即使他們還沒有接觸過,沒有現成的經驗,但當問題一旦呈現在面前時,他們往往也可以基于相關的經驗,依靠他們的認知能力,形成對問題的某種解釋。而且,這種解釋并不都是胡亂猜測,而是從他們的經驗背景出發而推出的合乎邏輯的假設。所以,教學不能無視學生的這些經驗,另起爐灶,從外部裝進新知識,而是要把學生現有的知識經驗作為新知識的生長點,引導學生從原有的知識經驗中“生長”出新的知識經驗。 

  為此我們根據“情境—問題”教學模式,沿著“設置情境—提出問題—解決問題—反思應用”這條主線,把從情境中探索和提出數學問題作為教學的出發點,以“問題”為紅線組織教學,形成以提出問題與解決問題相互引發攜手并進的“情境—問題”學習鏈,使學生真正成為提出問題和解決問題的主體,成為知識的“發現者”和“創造者”,使教學過程成為學生主動獲取知識、發展能力、體驗數學的過程。根據上述精神,做出了如下設計:①創設一個現實問題情境作為提出問題的背景;②啟發、引導學生提出自己關心的現實問題,逐步將現實問題轉化、抽象成過渡性數學問題,解決問題時需要使用余弦定理,借此引發學生的認知沖突,揭示解斜三角形的必要性,并使學生產生進一步探索解決問題的動機。然后引導學生抓住問題的數學實質,引伸成一般的數學問題:已知三角形的兩條邊和他們的夾角,求第三邊。③為了解決提出的問題,引導學生從原有的知識經驗中“生長”出新的知識經驗,通過作邊BC的垂線得到兩個直角三角形,然后利用勾股定理和銳角三角函數得出余弦定理的表達式,進而引導學生進行嚴格的邏輯證明。證明時,關鍵在于啟發、引導學生明確以下兩點:一是證明的起點 ;二是如何將向量關系轉化成數量關系。④由學生獨立使用已證明的結論去解決中所提出的問題。

 二 教學過程 

    1、設置情境

        自動卸貨汽車的車箱采用液壓機構。設計時需要計算油泵頂桿BC的長度(如下圖),已知車箱的最大仰角為60°,油泵頂點B與車箱支點A之間的距離為1.95m,AB與水平線之間的夾角為6°20&acute;,AC的長為1.40m,計算BC的長(保留三個有效數字)。

2、提出問題

師:大家想一想,能否把這個實際問題抽象為數學問題?(數學建模)

     能,在三角形ABC,已知AB=1.95m,AC=1.40m,∠BAC=60°+6°20&acute;=66°20&acute;,求BC的長。

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師:能用正弦定理求解嗎?為什么?

  不能。正弦定理主要解決:已知三角形的兩邊與一邊的對角,求另一邊的對角;已知三角形的兩角與一邊,求角的對邊。

師:這個問題的實質是什么?

   在三角形中,已知兩邊和它們的夾角,求第三邊。

(一般化)三角形ABC,知AC=b,BC=a,角C,求AB!   

3、解決問題

師:請同學們想一想,我們以前遇到這種一般問題時,是怎樣處理的?

 先從特殊圖形入手,尋求答案或發現解法。(特殊化)

 可以先在直角三角形中試探一下。

 直角三角形中c2 = a2 + b2 (勾股定理角C為直角)斜三角形ABC中(如圖3),過A作BC邊上的高

AD,將斜三角形轉化為直角三角形。(聯想構造)

 師:垂足D一定在邊BC上嗎?

 不一定,當角C為鈍角時,點D在BC的延長線上。

(分類討論,培養學生從不同的角度研究問題)

   在銳角三角形ABC中,過A作AD垂直BC交

BC于D,在直角三角形ADB中,AB2=AD2+BD2,

在直角三角形ADC中,AD=ACsinC, CD=ACcosC

即AD=bsinC, CD=bcosC

又BD=BC-CD,即BD=a-bcosC

∴c2 = (bsinC)2 + (a-bcosC)2

    = b2sin2C + a2 -2abcosC + b2cos2C

        = a2 + b2 -2abcosC

同理a2 = b2 + c2 -2bccosA

    b2 = a2 + c2-2accosB

   在鈍角三角形ABC中,不妨設角C為鈍角,

過A作AD垂直BC交BC的延長線于D,

   在直角三角形ADB中,AB2=AD2+BD2,

   在直角三角形ADC中,AD=ACsin(π-C), CD=ACcos(π-C),   即AD=bsinC, CD=-bcosC,又BD=BC+CD,即BD=a-bcosC

 ∴c2 = (bsinC)2 + (a-bcosC)2 

       = b2sin2C + a2 -2abcosC + b2cos2C

 = a2 + b2 -2abcosC

同理a2 = b2 + c2 -2bccosA

    b2 = a2 + c2-2accosB

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