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創設操作情境 促進自主探索——《函數的單調性與導數》教學案例

    06-21 11:24:02    瀏覽次數: 825次    欄目:高三數學教案

標簽:人教版高三數學教案,高三文科數學教案,http://www.562527.site 創設操作情境 促進自主探索——《函數的單調性與導數》教學案例,

【引   言】

      學習是獲得知識的過程,知識是由學習者在一定的情境下借助其他人(包括教師和同學)、利用必要的學習資料、通過意義建構的方法獲得。在這個過程中,學生是信息加工、意義建構的主體,而教師則是意義建構的幫助者和促進者。那么,在教學過程中,教師應該怎樣引導學生圍繞問題主動展開探索,并發揮師生、生生之間的合作關系進行討論,得出科學的結論呢?以下是我在新課程教學中的一些嘗試,愿與大家一起交流學習。

【背   景】

12月23日,我校舉辦了“教學開放日”活動,我在這天擔任授課教師,任課班級是高二年級的一個集訓班,結合我班的教學進度,我決定把課題定為《函數的單調性與導數》,該小節是人教版數學選修2—2的內容,通過本小節的學習,主要要求學生能借助函數圖象了解函數的單調性與導數的關系;能利用導數研究函數的單調性。

十七世紀中葉,隨著對函數研究的深入,產生了微積分,它的創立,被譽為“人類精神的最高勝利”。導數是微積分的核心概念之一,它是研究函數增減、變化快慢、最大(。┲档葐栴}的最一般、最有效的工具。

本節內容是安排在學生已經學習了導數的概念和導數的幾何意義后學習的,由于內容比較容易理解,并考慮到202班學生的基礎較好,因此,上這節課前,我的設想就是:積極創設情境,放手讓學生去自主探索,讓學生親歷親為,感受數學文化的魅力。

【課堂實錄】

    片段一:創設情境,復習切入

    師:在高一的時候,我們就曾經研究過函數的單調性,現在請同學們與我一起來回憶函數單調性的定義。

    生:函數的單調性是指在某個區間內,函數呈現出上升或下降的趨勢,就稱函數在該區間具有單調性。

    師:很好,如果函數 在某區間是增函數或減函數,那么就說 在這一區間具有單調性,這區間就是該函數的單調區間,怎樣判斷函數的單調性呢?

x=2
 
y
 
o
 
x
 
下面,我們以函數 為例,來回憶以前我們

是怎樣來判斷函數的單調性和求解函數的單調區間的。

(該內容對于集訓班的學生來說,真是小菜一碟,所以一開始,課堂

氣氛顯得非常輕松)

生:該函數的開口向上,又因為其對稱軸為x=2,

這樣,我們就可以畫出其大致圖像(如圖),觀察圖像可知,該函數

 

在 上是單調遞減的;在 上是單調遞增的。

      師:看得出來,同學們都很贊同這種解法,不可否認,這種方法對于二次函數普遍適用,但是,隨著對函數研究的深入,我們還會碰到高于二次的函數,比如對于函數 ,如果再用這種方法去判斷它的單調性和求單調區間就很麻煩了,那我們能不能找到一種更為一般,更為有效的方法來解決這類問題呢?

(課堂上安靜了下來,但是能看得出來,學生的思維還沒有找到“著陸點”,還不知道應該怎樣去思考這個問題。)

      片段二:創設情境,自主探究

    師:同樣以函數 的圖像來研究,回憶以前的知識我們還知道,函數在某點處的導數的幾何意義是函數在該點處切線的斜率。下面,我們在 上去任意找幾個點,請一位同學來畫出這些點處的切線,看看這些切線的斜率有什么共同特點。

    生:畫圖(略),我發現這些點處的切線雖然各不相同,但他們的斜率有一個共同的特點就是:都小于0。

    師:你認為這是一種偶然現象嗎?

    生:應該不是,因為我找了幾個點來看,并且這些點都是在 上任意找的。

    師:那你認為這說明了什么呢?

    生:(試探的)是不是在函數單調遞減區間上的每一點處,其導數值都小于0呢?

    師:至少你的這個結論對于函數 成立了,那現在請你繼續采用這種方法,去研究一下在區間 上任意點處切線的斜率有什么特征。

    生:不用了,我想,函數在 上任意點處切線的斜率肯定是大于0的。

(下面有同學輕聲地笑了)

    師:你這樣說一定有你的道理,說說你為什么有這種猜測呢?

    生:因為我覺得在數學中,有很多對稱的東西,再說,不用畫,我也可以看出來呀。

      師:原來是這樣,那么,下面的同學是否也發現這種規律了呢?

      生:是呀,老師,那是不是說,以后要求函數的單調遞增區間,只需要找使得函數導數大于0的區間;要求函數的單調遞減區間,只需要找使得函數導數小于0的區間呢?

      師:大家不要著急,我們現在只是研究了一個函數,讓我們來多研究幾個函數?纯词遣皇怯蓄愃频慕Y論。

 
y
 
O
 
x
 
 
o
 
y
 
x
 

>>《創設操作情境 促進自主探索——《函數的單調性與導數》教學案例》這篇教育教學文章來自[www.562527.site網]www.562527.site 收集與整理,感謝原作者。       片段三:創設情境,互動交流

      師:我們來看黑板上這幾個熟悉的“身影”

y=x
 
y
 
O
 
x
 

 
O
 
y
 
x
 


同學們分為四個小組,每個小組研究一個圖像,看看函數的單調性與其導數是否存在著如前面我們所說的那些規律。

      (學生分為四個學習小組,每個小組的成員交流合作,最后,由一名代表闡述本小組的發現)

      生甲:函數y=x的導函數是 ,并且觀察圖像,該函數在整個實數范圍內都是單調遞增的。因此,我們認為,函數在某個區間的導數大于0,則函數在該區間為單調遞增函數。

      生乙:函數 的導函數是 ,當 時, ,觀察圖像,此時函數單調遞增;當 時, ,觀察圖像,此時函數單調遞減。所以,我們認為,函數的單調性與導數有聯系。這種聯系就是:函數在某個區間內單調遞增,則在該區間其導數大于0;函數在某個區間內單調遞減,則在該區間其導數小于0。

      師:兩位同學積極主動探索問題,并且我已看出,他們得出的結論已經接近正確的邊緣,還需要繼續向正確邁進,同學們能補充一下嗎?

      (教室里一片安靜,同學們進入沉思,不一會兒,又響起了大家相互討論的聲音,第三小組成員的討論尤為激烈,我想,這個問題應該是由第三組的成員首先發現,果然,馬上就看到他們舉手了。

      生丙:老師,從我們組得出的結論來看,好像生乙的結論不正確。

      師:好,那說說你們的見解!

      生丙:我們觀察函數 的圖像,在實數范圍內是單調遞增的,接著,我們求出函數 的導函數為 其值是大于或等于零的,所以,我們認為函數在某個區間內單調遞增,在該區間其導數大于0。這種結論不一定正確。

      師:很好,那么,怎樣說才正確呢?

     (生丙正在考慮怎樣表達自己的思想,不想,卻被生丁搶過了話頭。)

      生。旱惯^來說就可以了,老師。

      師:哦,怎么個“倒”法呢?

    生。航Y合我們組對函數 的研究,我覺得可以這樣說:在函數的某個區間內,如果 >0,那么函數 在這個區間內單調遞增;如果 <0, 那么函數在這個區間內單調遞減。

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