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《軌跡的探求》教學案例

    06-21 11:26:16    瀏覽次數: 940次    欄目:高三數學教案

標簽:人教版高三數學教案,高三文科數學教案,http://www.562527.site 《軌跡的探求》教學案例,

一、教學背景:前面已經學習了拋物線的定義、標準方程、拋物線的幾何性質以及拋物線與直線的位置關系,在學習這三種圓錐曲線的定義時他們的第二定義有一個共同的特點,都是滿足這樣的一個條件:動點P到定點和到定直線的距離的比為一個常數,那么,在其他的曲線中如果滿足了一個條件,那怎樣來求這樣的曲線方程呢?而且求曲線的方程、通過方程研究曲線是解析幾何的兩大主要內容。那怎樣探求軌跡。 

二、教學設計:

1、提出問題:如問題是數學的心臟,思維是問題的開始。我們先來看一個具體的問題:若動圓過定點A(-3,0),且和定圓B(x-3)2+y2=4外切,求動圓圓心P軌跡方程。(電腦顯示)

2、解決問題:

教師:大家先思考,然后請位同學來回答解答過程。

學生:(學生邊解答,老師邊板書)

解:如圖,設動圓P和定圓外切于N點,則

。

所以,點P的軌跡是以A,B為兩焦點,

半實軸長為1的雙曲線的左支,其方程為

。

教師:下面我們檢驗解答結果,利用幾何畫板

演示(一):拖動主動點N在圓B上轉動,跟蹤點P,

最后保留點P的軌跡。

    學生1(很快提出):根據以上解答點P的軌跡應是雙曲線一支,演示結果怎么是雙曲線的兩支呢?

學生2:另一支是動圓與定圓B內切時,動圓圓心P的軌跡。

教師:因此,若動圓過定點A,且和定圓B相切,動圓圓心P軌跡是雙曲線,其方程為: 。

3、探究問題:

教師:若改變點A位置,過定點A且和定圓B相切的動圓圓心P軌跡是否還是雙曲線呢?大家可以先猜測,然后動手操作幾何畫板演示:先拖動點A到某一位置后,再拖動主動點N在圓B上轉動,跟蹤點P,最后保留點P的軌跡。觀察點A在不同位置時,動圓圓心點P的軌跡,然后作出總結。

學生:動圓圓心點P的軌跡可能是雙曲線,橢圓,圓,或者射線。

教師:大家能找出它的理論根據嗎?

學生:若點A在圓外,動圓與定圓B相切,則 ,所以點P的軌跡仍是以點A,B為兩焦點的雙曲線;

若點A在圓內(除點B外),動圓與定圓B只有內切,則 ,所以點P的軌跡是以點A、B為兩焦點的橢圓;

若點A與點B重合,則點P的軌跡是以點B為圓心,以2為半徑的圓;

若點A在圓B上,當動圓與定圓B外切時,由 ,則點P的軌跡是x軸上以點A為端點,向左的射線;當動圓與定圓B內切時,則點P的軌跡是x軸上以點A為端點,向右的射線。

教師:非常好!若把點看作是半徑為0的圓,那么增大半徑,此時與兩圓(位置關系可變化)都相切的動圓圓心點P的軌跡是什么呢?繼續增大圓的半徑,讓其趨向于無窮大,此時圓可看作是一條直線,那么與直線和定圓(位置關系可變化)分別相切的動圓圓心P的軌跡又將是什么?

教師:(將學生分成4人一組,每組選擇一個問題進行探究)類似于上面的探究過程:先進行猜測,借助幾何畫板演示,再作出論證、歸納、總結。然后由每小組派一位代表發言,交流探究成果。

4、作業:

思考題:A、B是拋物線 上的兩點,滿足OA⊥OB。(O為坐標原點)求證:直線AB經過一個定點。

提示:將點O改為拋物線上的任意點,結論是否仍然成立?若將拋物線改為橢圓或雙曲線結果又將如何?

三、教學反思:通過對問題的創設,培養了學生主動的發現問題解決問題的能力,充分調動了學生學習的主動性、積極性;通過對開放性問題的探討過程,使學生掌握橢圓、雙曲線、拋物線間的關系,理解圓錐曲線的統一性,同時培養了學生的合作能力及創新精神,有效地滲透了數學思想方法,發展了學生個性思維品質;在平等的教學氛圍中,通過學生之間、師生之間的交流、合作和評價,實現共同探究、教學相長的教學情境。利用計算機輔助教學,使結果更形象、更直觀,更能調動學生的積極性。
 

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